第五章 力法
&5-7 等截面单跨超静定梁杆端内力
下一章位移法和力矩分配法的计算过程中，需要用到单跨超静定梁在荷载作用及杆端发生位移时的杆端内力。这些内力简称杆端力，可用力法求得。为了计算需要，杆端内力除沿用以两个下标标明所属杆件、以第一个下标表示所属杆端的约定外，它们的正方Mm<0|F。Ma,>0向采用如下的规定：对杆端而言，弯矩以顺时针方向为正；4一对结点或支座而言，则以逆时针方向为正。现以图5-401所示的梁来看：在图示荷载作用下，杆端弯矩的实际方向。。
如图所示，其A端弯矩MAm，对杆端为逆时针方向，对支座则为顺时针方向，与正向规定相反，故为负值，而B端弯矩。Ma的实际方向则与正向规定相符，故为正值，显然，这里所采用的弯矩正负符号的规定与材料力学中所用的不同，应给予注意。至于杆端剪力正负符号的规定则与以往完全相同。
单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩，通常称为固端弯矩，并以M%。和M品表示，相应的杆端剪力称为固端剪力，以F品Am和F品m表示。今后主要遇到图5-41所示的三类等截面单跨超静定梁。下面着重对两端固定梁杆端内力的计算进行讨论。
图5-42a所示为受竖向集中荷载作用的两端固定梁，如果去掉固定支座B，就得到图
5一42小所示的是臂梁，所以它是一个三次超静定结构。现以图5-42b为其基本体系，以多余力X，、X，和X，代替相应约束的作用。由于受弯直杆中轴向变形相对于弯曲变形是次要的，故通常不予考度。即认为观弯直杆变形后两端之间的距离保持不变（称为受弯直杆杆长不变假定），因此不考虑义高口就料义相X，方向的位移条件建立求解多余力X，和X，的方程。
原结构中，点B处不可能发生转角和整向位移，按此条件可写出力法方程为作出两个单位弯距图（图5一42c、d）和荷载弯延图（图5-A2c），应用图形相乘法可算得AB果B端的弯矩和剪力为M.ra'bs.Foa'(/+26)B静力平衡条件可求得A端的弯矩和剪力为Ma=5na2F Fob'(l+2a)5弯矩图和剪力图如图5-421、g所示。
据此，可从受力和变形两个方面，对两端固定梁（图5-43a)与相应的简支梁（图5-43b）作一个简单对照。从受力看，简支梁各截面都承受正弯矩（为了便于说明，仍以使梁下缘纤维受撞弯矩为正)，梁下缘纤维受拉。两端固定梁由于多余约束的存在，内力发生了变化，在梁中出现了弯矩为零的C、D两点，CD范围内梁承受正弯矩，梁的下缘纤维受拉；而CD范围外梁承受负弯矩，梁的上缘纤维受拉，其内力分布较简支梁均匀，且弯矩的绝对值一般也较简支梁小。从变形看，参考弯矩图后画出两根梁的变形曲线大致如图中虚线所示。简支梁跨度范围内都是下缘受拉，故变形曲线向下凸；而在两端固定梁中，两弯矩零点C、D范围内，因下缘受拉变形曲线向下凸.C、D范围外则向上凸，变形整体小于前者。
计算简图上梁轴线与弯矩零点对应的点称为反弯点，变形曲线中与该点对应的点即为拐点。此外，在勾画变形曲线轮廓时，还要使变形曲线满足支座处的约束条件，保持曲线光滑平顺，并注意结点位移的实际情况。图5-44a所示为一等截面两端固定梁，固定端A顺时针转动一角度。现计算其支座反力并作弯矩图和剪力图。
最后弯矩图和剪力图如图5-44e、（所示。图5-45a所示等截面两端固定梁，在垂直于梁轴方向两支座发生相对线位移△0。这种情况可看作支座A向上发生竖向位移△m或支座B向下发生竖向位移△0，同样也可用力法进行算，并可作出弯矩图和剪力图如图5-45b、c所示。对各种单跨超静定梁在不同外因作用下的杆端力进行计算后，为便于应用，将其数值列于表中。其中支座转动和移动引起的杆端力称为形常数，荷载作用下的杆端力称为载常数。
一端固定另一端定间支水的等截面染，可以利用s5-4的对标性，将其视为对称外因作用的等我而录A然发生单位转角。图5-46b为抗弯刚度E1与前者相同但跨度为前者2倍的两细固定梁，两着发生正对你单位转角。后者的杆端弯矩可由表5-1得出其中i加=一是AB杆的抗弯刚度与其跨度之比值，称为AB杆的线抗弯刚度，简称线刚度。梁AA的弯矩图如图5-46c所示，因此一端固定另一端定向支承的等截面梁的杆端弯矩即为MAg=ia=l,Max=-ia=-EI这种梁在其他因素影响下的杆端力均可按此方法求得，不再赘述。
显然，也可将一端固定另一端铰支梁视为反对称外因作用下两端固定梁的半结构，具体做法请读者思考练习。称为杆件AB的弦转角。公式中Pa、9a的符号都规定以顺时针方向转动为正，而乙m则以使整样件顺时针转动时为正，即以弦转角顺时针方向转动时为正。图5-47中所示Pa、9a、40或都为正向。
上述转角位移方程虽然是从单跨超静定等截面梁导出的，但它们所表示的杆端力与杆端位多及荷载之间的关系，对于刚架中任何一根等截面受弯直杆都是适用的。如图5-48a所示刚果，在图示荷载作用下其变形曲线如虚线所示，结点C的转角为c，结点D的转角为。。根据前述受弯直杆假定，C、D两点的水平位移均为a，而这两点的竖向位移均为零。考虑到各杆件的杆端位移应与相应的结点位移相同，则各杆件的变形状态及受力情况分别如图5-48b.c、d所示。
因此，AC杆的杆端弯矩可按式（5-3）或表5-1写出
MAc =2igc-6i÷-sql2
Ms =4ipe-6i9+÷ql2式中等号右边三项，是将AC视为两端固定梁时，分别在杆端位移c、A和均布荷载q三种外因单独作用下的杆端弯矩。水平位移A只使杆件CD发生刚体平动，不引起内力，故CD杆应视为两端固定梁，在P-和知两种外因作用下的杆端弯矩为
（b）-1A1（）Mo =4ige+2ipol
Me =2igc+4igoJDB
杆则应视为D端固定、B端饺支的梁受9o和A两种外因作用，故有Mom=3i9n-3i-|an=0各杆的杆端剪力同样可按相应公式或表5-1得出。也可直接以各杆件为隔离体，利用刊条件从杆端弯矩求杆端剪力。
由以上分析可知，若能设法求得刚架的结点位移（如图5-48a所示刚架的e、o、4)，质计算出各杆的杆端弯矩，再利用平衡条件即可求得杆端剪力及任一截面中的内力。下一章能移法就是以结点位移作为基本未知量来解算超静定结构的另一种方法。
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